Premier Canadien à remporter un tournoi international (Championnats d’Écosse de 1935).
Occupait le premier rang canadien en 1937 et le deuxième en 1938.
Finaliste du simple des Internationaux du Canada (Coupe Rogers) en 1937 et finaliste du double (avec Laird Watt) en 1937 et en 1938.
Bob Murray était membre de l’équipe de tennis de l’Université McGill et y a obtenu son diplôme de droit.
Premier Canadien à remporter un tournoi international, Murray a conquis les grands honneurs des Championnats d’Écosse de 1935, battant les Écossais Ian Collins et D. MacPhail en route vers le trophée. La même année, il accédait à la finale d’un tournoi disputé aux Bermudes, éliminant Frankie Parker et Wilmer Hines avant de s’incliner 6-4, 3-6, 1-6, 6-2 et 7-5 face à Bitsy Grant. Il y a aussi atteint la finale en 1936 et la demi-finale en 1937. De plus, il a participé aux huitièmes de finale à Forest Hills.
En 1936, il a pris part à la Coupe de Montréal. Lors de la finale contre Roger Durivage, il avait mis la main sur les deux premières manches, mais avait concédé la troisième et la quatrième. Après plusieurs interruptions en raison de la pluie, Murray a réussi à arracher la manche ultime, remportant ainsi le titre sur le score de 6-4, 6-2, 3-6, 2-6 et 6-3.
Avant cette finale, Murray avait chaudement disputé la demi-finale contre Marcel Rainville, adversaire très coriace. Bien que Rainville ait rapidement pris les devants 6-3 et 6-1, Murray a réussi à niveler la marque et à forcer la tenue d’une cinquième manche décisive qu’il a facilement remportée 6-0, profitant alors de la fatigue de Rainville.
Murray n’a participé qu’une seule fois aux rencontres de la Coupe Davis (en 1938), le Canada n’ayant pas délégué d’équipe en 1936 et en 1937 afin de permettre à Murray, à Rainville et à Laird Watt d’acquérir de l’expérience en Europe. Murray et Watt, son coéquipier à l’université, formaient une très bonne équipe de double.
« Murray est le genre de joueur qui n’est jamais battu avant la fin du dernier point et il sait conserver son calme sous la pression. » (Canadian Lawn Tennis and Badminton, septembre 1936).
Lors de la finale des Internationaux du Canada de 1937, il avait subi une défaite de 2-6, 6-3, 6-2, 3-6 et 3-6 aux mains de l’Américain Walter Senior.